Zähne der Zeit

Ich habe vor kurzem eine altes Uhrwerk gefunden, von einer Küchenuhr etwa aus den 60er Jahren. Das Getriebe, das weitgehend schon aus Kunststoffteilen gefertigt ist, habe ich grob, nicht ganz maßstäblich, skizziert.

Es gibt da einige interessante Zusammenhänge:
Das Getriebe soll Grundsätzlich mit wenigen Übersetzungen aufgebaut sein und die einzelnen Zahnkränze, die betrachteten sind hier mit den Buchstaben a bis h benannt, sollen auch mit wenigen Zähnen auskommen. Zu wenige Zähne dürfen es auch wieder nicht sein, damit es spielarm läuft.

Die mit den wenigsten Zähnen sind die Zahnkränze h und f sie haben jeweils nur acht Zähne. Acht, das ist wirklich wenig und führte sicher zu einem Spiel, bei dem dann die Uhr in der ersten Hälfte einer Stunde immer eine halbe Minute vor und in der zweiten Hälfte etwas nach geht, aber dafür gab es ja auch einen Sekundenzeiger.

Bild hier  

Die anderen Zahnkränze sind schon etwas größer. Der Zahnkranz b hat dann schon mehr als zehn Zähne und bei d sind es noch mehr, denn da muss ja auch noch die Welle für den Sekundenzeiger durch. Dann ist es auch ganz praktisch wenn es Zahnräder mit gleichem Modul gibt, wie bei den Zahnkränzen a und c, die, die ineinander greifen haben sowieso paarweise gleiches Modul.

Die Zahl der Zähne von den anderen Zahnkränzen müssten noch bestimmt werden, beispielsweise vom Zahnkranz a. Das ist der erste Teil der Aufgabe.

Im zweiten Teil, soll gezeigt werden, wie es grundsätzlich möglich wäre, die Zahnkränze g und e im gleichen Modul auszuführen. Das macht man aber eher nicht und auch fertigungstechnisch ist es wohl leichter, unterschiedliche Module zu nehmen.
Manfred

Wowww, knifflige Frage!!! Folgenden Lösungsvorschlag hätte ich, es geht bestimmt noch einfacher, ich habe es auf dem Zug (Weg nach Hause) skizziert :-)

a=38 b=11 , da 11*wurzel12=38
d=17 c=59, ebenfalls wg. 17*wurzel12=59
e=80
g=48

müsste theoretisch funzen :-)

Schöne Grüße:
Z

Ich hab wohl durch das fortschreitende Alter das Feeling für Zähne irgendwie verloren.
Mit der Einschränkung 10 < b < d würde ich mit
a:90 b:12 c:128 d:16 zumindest mal durchkommen
bei 60 = (a /b) * (c / d) kann man die Brüche natürlich erweitern
Ob das realtechnisch eine sinnvolle Aussage ist, weiß ich leider nicht

Bei der Forderung "a und c müssen das gleiche Modul haben" kommt mathematisch soetwas raus: a/b = c/d . Bei dir stimmen die Werte nicht ganz: ---> 7,5 = 8. Das war auch bei mir das grösste Problem :-)

Schöne Grüße:
Z

Es freut mich, dass schon Vorschläge für die Lösung eingetroffen sind. Vielen Dank.
Ich muß zugeben, dass ich in der alten Uhr auch nicht viel Rechnerei vermutet habe. Ich habe die Aufgabe auch ein bisschen so gestellt, dass alles was bei der Uhr selbstverständlich ist nicht erwähnt wurde.

Das mit dem Erweitern der Brüche ist klar und die Tendenz zu kleinen Zahnrädern wurde ja auch berücksichtigt. Dass die Zeiger sich auch in ein paar Wochen wieder auf der 12 treffen sollen ist auch klar.

So wie die Dinge liegen ist noch alles offen.
Manfred

Nachdem sich der erste Ansturm der Antworten gelegt hat möchte ich zum ersten Teil der Lösung kommen.

Es handelt sich ja um eine Uhr, deshalb gilt für die Übersetzung zwischen Minuten und Stunden:

(a / b) * (c / d) = 12

Da die Zahnkränze a und d sowie b und c auf den gleichen Achsen sind gilt bei gleichem Modul:

a + b = c + d .

Gesucht ist die kleinste Kombination mit b > 10 und d > b, die die Gleichungen erfüllt.
Leider habe ich auch keinen analytischen Weg gefunden die Gleichungen ganzzahlig zu lösen, man kann die Lösung per Programm oder durch Probieren ermitteln. Per Programm beispielsweise für alle Zahnräder unter 100 Zähnen. Während die Zahl der Zähne eines Zahnkranzes und auch die Gesamtübersetzung ganzzahlig sein muss kommt es doch recht häufig vor dass die Einzeluntersetzung hierbei nicht ganzzahlig ist.

. a . b . c . d . (a + b)
48 12 45 15 ... 60
54 12 48 18 ... 66
72 12 56 28 ... 84
63 14 56 21 ... 77
96 14 70 40 ...110
90 15 70 35 ...105
95 15 72 38 ...110
64 16 60 20 ... 80
72 16 64 24 ... 88
85 17 72 30 ...102
81 18 72 27 ... 99
80 20 75 25 ...100
90 20 80 30 ...110
96 24 90 30 ...120

Das gesuchte Ergebnis ist damit die erste Zeile mit

a=48 b=12 c=45 d=15.

Falls jemand doch noch die andere Übersetzung betrachten möchte kommt der zweite Teil der Lösung später.
Dort waren ja schon die Zähnezahlen der Ritzel gegeben und die Frage ist, wie man nötigenfalls mit identischem Modul auskommen kann.

Manfred

Schön, dass doch noch so viele Teilnehmer die Aufgabe angesehen haben. Irgendwie sind aber wohl Getriebebetrachtungen doch nicht ganz so spannend. Nun zum also verbleibenden Teil der Lösung.

Bei der Kombination e, f, g, h ist die Gesamtübersetzung 60 gefordert. Hier sind die Zähnezahlen der beiden Ritzel h und f mit jeweils 8 schon gegeben. Das Produkt von e und g soll damit 60 mal so groß sein wie das Produkt aus h und f

e * g = h * f * 60
e * g = 8 * 8 * 60
e * g = 3840

Man sollte die Zähnezahlen möglichst von ähnlicher Größe wählen damit bieten sich die ganzen Zahlen

e = 60 und g = 64

an. Die Übersetzungen sind damit 8 und 7,5. Dieses mal gilt nicht die Bedingung für gleiches Modul und man kann die Zahlen direkt nehmen und das Modul daraus bestimmen. Der Modulunterschied zwischen den Zahnkränzen e und g liegt bei ( 64+8 )/( 60+8 ) = 1,0588. Das ist leider etwas zu viel, um bei gleichem Modul durch größeres Spiel akzeptiert zu werden.

Stehen bei einer Einzelanfertigung nur Zahnräder mit festem Modul zur Verfügung, dann könnte man den Abstand auf der Welle zwischen g und f so groß wie möglich machen die Welle leicht schräg einbauen damit die Zahnräder trotzdem gut ineinander greifen. Speziell bei den geringen Momenten einer Uhr sollte es gehen.

Bei der Massenfertigung ist aber das spezielle Modul kein Problem und man kann die Welle mit g und f parallel einbauen.
Manfred