Das mit dem Brückengleichrichter ist schon klar, ich wollte nur auf die Nachteile hinweisen. Du verlierst etwa 1,4V in der Brücke, wenn der 9V Block etwas nachlässt, dann bist du schnell auf unter 7V am Spannungsregler. Der mag das nicht sehr und speziell bei Impulsbelastung knickt dann die 5V Spannung schnell mal ein. 9V Blöcke sind, wenn du dir nicht einen speziellen Typ kaufst, für eine gleichmässige Entladung mit geringen Strömen ausgelegt.
Wenn schon ein Verpolungsschutz, dann eine Schottkydiode in Durchlassrichtung, die kostet nur etwa 0,4V.