Motorgröße für einen parallelen Seilroboter

[FirefoxMetzger]

Deinem Post, Geistesblitz, entnehme ich, dass ich die gewünschten Beschleunigungen einfach additiv dazurechnen darf.
Das ganze ergibt für mich auch anschaulich Sinn, da ich wenn ich die Apparatur zu einem festen Zeitpunkt t* betrachte, wieder "Kräftegleichgewicht" ansetzen kann. Das Ganze ist zwar kein echtes statisches Gleichgewicht, allerdings ergibt sich der resultierende Vektor (mit dessen Betrag und Richtung die Plattform beschleunigt) ja als Summe der wirkenden Kräfte und deren Richtungen.

Und ja, hbquax, die Berechnung der Seilkräfte für eine bekannte Position ist einfach das Lösen eines einfachen LGS, sobald man die Positionen der Aufhängungspunkte an der Plattform und am Rahmen kennt. Allerdings musst du beides zuerst berechnen. Durch geeignete Wahl der Koordinatensysteme ist das allerdings keine schwere Aufgabe.

Was einen so hohen Zeitaufwand hat, ist die schiere Anzahl der Positionen deiner Plattform, die zum Erstellen des Plots benötigt wird. Wenn N deinen Feinheitsgrad der Diskretisierung in jede Richtung (x, y, z, 3 Rotationsachsen) darstellt, so musst du N^6 Gleichungssysteme lösen.
Wenn man die drei Rotationsachsen konstant hält, so benötigt man "nur" noch N^3 Gleichungssysteme um einen Plot über den Arbeitsraum zu generieren. Die Bilder stellen einen solchen Plot dar. Hierbei wurde jede Achse in N=100 gleiche Teile zerteilt. Zur Berechnung muss man also 100^3 = 10^6 Gleichungssysteme lösen. Das Lösen dieser 1 Millionen LGS dauert bei mir eine Minute.
Möchte man nun das Ganze auf Rotationen erweitern, so explodiert der Aufwand. Wenn man für Rotationen um jede Achse wieder 100 "Schritte" haben möchte sind das weitere 100^3 Elemente. Leider verrechnen sich diese nicht additiv, sondern multiplikativ. Man muss also für JEDE der 1 Millionen Koordinaten (x,y,z) 1 Millionen Rotationen berechnen. Also insgesamt 10^12 LGS lösen.
Wenn man für ein LGS vorher 60/10^6 Sekunden (ungefähr 60 µs) benötigt hat, dann braucht man für die neue Aufgabe 10^8 Sekunden, also 3.169 Jahre.
Diese 60 µs beinhalten auch das Bestimmen der Koordinaten der Aufhängungspunkte, das Erstellen des LGS und natürlich das Lösen desselben.

Da die einzelnen Koordinaten (x,y,z, 3 Rotationen) allerdings voneinander unabhängig berechnet werden können, kann man die Rechenzeit verkleinern, indem man parallel rechnen lässt. Wie viel man gleichzeitig rechnen kann hängt von der CPU ab. Ich habe hier 4 echte und 4 virtuelle Kerne könnte also (theoretisch) 8 Koordinaten gleichzeitig bestimmen. Diese Aufgabe würde meinen PC noch knappe 8 Monate beschäftigen.

Ich habe mir gestern Abend allerdings ein anderes Verfahren überlegt, um die Maximale Seilkraft zu bestimmen, welches nicht so rechenintensiv ist. Allerdings muss ich es noch implementieren und es werden keine solch schönen Plots dabei herauskommen.

Wieso sollen die Seile der gegenüberliegenden Seite nicht ziehen dürfen? Sie dürfen ziehen, soviel nötig ist um die Plattform gerade zu halten. Grade das ist ja die Kunst. Für alle Möglichen Positionen die Seile so einzustellen, dass die Plattform gerade gehalten wird (von auftretenden Schwingungen / Pendelbewegungen um die Ruhelage mal abgesehen).
Weiterhin soll die Plattform ja auch 10 cm unter Ihren Aufhängepunkten bleiben, damit die benötigten Kräfte nicht zu groß werden.

Zu den Motoren: Ich habe bisher noch keine kleinen Servomotoren / Servos gefunden von denen ich die Sensordaten auslesen kann. Für große Motoren ja, allerdings benötige ich keine Motoren mit mehreren Nm Drehmoment.
Die kleineren aus dem RC-Bereich scheinen alle die Regelung integriert zu haben und über die Vorgabe eines PWM Signals einen korrespondierenden Winkel anzusteuern.

Edit: Ich habe meinen Algorithmus für die Rechung mit Rotationen implementiert. Jede im Berech von +- 45° um jede Achse. Die maximale Belastung auf ein Seil ist dann 57.6962 N also bin ich (wie erwartet) mit meinen 60 N gut dabei.

Edit numero 2: 8 Seile

[ranke]

Deinem Post, Geistesblitz, entnehme ich, dass ich die gewünschten Beschleunigungen einfach additiv dazurechnen darf.

Das Kräftegleichgewicht gilt auch für den dynamischen Fall, klassisches Beispiel ist ein frei fallender Körper, der durch die Gravitationskraft = m*g beschleunigt wird. Die Gegenkraft ist eben gerade die der Beschleunigung entgegenwirkende Trägheitskraft = m*a. Sofern keine weiteren Kräfte (Luftreibung) einwirken gilt g=a, ansonsten (Vogelfeder) wird a entsprechend geringer.

Die Komplikation mit dem Rechenaufwand kann ich momentan nicht nachvollziehen, vielleicht übersehe ich da etwas. Mein Ansatz wäre: eine bestimmte Pose soll angefahren werden, damit sind die Abstände der Umlenkrollen zu den Aufhängepunkten der Plattform definiert und können recht leicht im kartesischen Koordinatensystem ausregerechnet werden (Pythagoras oder Winkelfunktionen). Entsprechend ergeben sich die einzustellenden Seillängen.

Modellbauservos gibt es auch als Seilwinde. Ob Standardservo oder Seilwindenservo: die gewünschte Stellung wird als Sollwert vorgegeben und vom internen Regelkreis in eine entsprechende mechanische Stellungsänderung umgesetzt, eine Ausgabe des Istwerts ist normalerweise nicht möglich (eventuell bei hochklassigen Digitalservos schon, das weiß ich nicht). Als Istwertgeber ist üblicherweise ein Potentiometer verbaut. Prinzipiell kann man sich so etwas selbst bauen, mit Getriebemotor, geeigneten Istwertgeber und zusätzlichem Regler inklusive Motortreiber. Solche Projekte werden hier im Forum auch immer mal wieder aufgemacht, ist aber vermutlich - je nach Anforderung an Genauigkeit und Dynamik - nicht ganz trivial.

[hbquax]

Wegen Rechenzeit: Das war wohl ein Missverständnis, ich dachte du programmierst bereits deine Robotersteuerung und benötigst jedesmal eine Minute für einen Steuerbefehl.

Zu Kräftegleichgewicht: Wenn die Plattform senkrecht unter einem der Randbalken hängt, also die beiden Seile dieser Seite auch senkrecht hängen, hat ihre Seilkraftkomponente in horizontaler Richtung den Wert null. Damit die Plattform im Gleichgewicht ist, muss auch die horizontale Komponente der Seile von der anderen Seite null sein. Da die aber schräg hängen, also ihre vertikale und horizontale Komponente in einem endlichen Verhältnis stehen, muss auch ihre vertikale Kraftkomponente und damit die gesamte Seilkraft null sein. Das hat dann zur Folge, daß die PLattform senkrecht nach unten hängt.

[FirefoxMetzger]

Mein Ansatz wäre: eine bestimmte Pose soll angefahren werden, damit sind die Abstände der Umlenkrollen zu den Aufhängepunkten der Plattform definiert und können recht leicht im kartesischen Koordinatensystem ausregerechnet werden (Pythagoras oder Winkelfunktionen). Entsprechend ergeben sich die einzustellenden Seillängen.

Richtig. Und da nur Kräfte in Zugrichtung wirken, kann man ein Kräftegleichgewicht aufstellen und nach positiven Lösungen suchen. Da man die Richtungen kennt, kümmern einen nur noch die Beträge.
Was allerdings benötigt wird ist die maximale Kraft, die entlang eines Seils wirkt, um damit die Dimension des Getriebes und des Motors festzulegen. Entweder benötigt man also Optimierungsverfahren (eleganter Ansatz) um das Maximum der Kräfte über alle möglichen Positionen zu finden oder man berechnet durch Brute Forcen alle möglichen Positionen und wählt zum Schluss das Maximum aus.
Vorteil von letzterem ist der, dass man das globale Maximum finden kann. Nachteil ist der immense Rechenaufwand, da man den ganzen Arbeitsraum in ein großes Raster einteilt und für jeden Knoten einmal das von dir beschriebene Verfahren anwendet.

Optimierungsverfahren sind da anders. Ihr Vorteil ist, dass sie sich sehr mit sehr hoher Auflösung durch den Arbeitsraum bis zum Maximum vorarbeiten können. Sie sind zwar ebenfalls numerisch, allerdings deutlich schneller als die Brute Force Methode, da sie nur einen Bruchteil der Positionen berechnen.
Nachteil ist hier: Die Konvergenz ist nicht gesichert und es ist vor allem ungewiss, ob das gefundene Maximum das globale Maximum ist oder nur ein lokales. Des Weiteren ist es nicht möglich danach Plots der Kräfteverteilung anzufertigen.

Ich würde gerne schon anfangen, die Steuerung zu schreiben, allerdings ist der Trafo sowie der Speicher für meinen "Hauptrechner" noch per Post unterwegs, weshalb das mit dem Debuggen schwierig wird.
Tatsächlich ist ein Teil der Steuerung (die inverse Kinematik) gar nicht so verschieden von unserem Diskussionsthema. Es ist allerdings nur der Teil mit den 60 µs also durchaus Echtzeitfähig.

Bei dem Kräftegleichgewicht hast du recht. Ich hatte da irgendeine utopische Vorstellung von der Sache. Danke, dass du es angesprochen hast.
Deshalb werde ich wohl für den Roboter im Raum ein Minimum von 7 Seilen verwenden, da ich so die vollständige Pose inklusive Rotationen bestimmen kann.
Mal schauen, wie ich die Seile an der Plattform befestige. Vielleicht nehme ich auch 8 Seile, zwecks Symmetrie.

Das Wichtigste, grobes Abstecken der Größenordnung des Roboters, ist ja nun geschehen. Und da abzusehen ist, dass die damit verbundenen Kosten tragbar sind, werde ich mal zur Tat schreiten und anfangen eine Steuerung zu schreiben.
Wenn ich die Software gescheit auslege, dann sollte es einfach sein, Aufhängungspunkte sowie Anzahl von Seilen und Motoren zu ändern. (Hoffe ich zumindest.)

Wenn ihr wollt, kann ich auch Bilder davon bereitstellen, sobald etwas vorzeigbares herauskommt. Allerdings bezweifele ich, dass es spannend ist, einem Haufen Code und blinkenden LEDs zuzusehen.
Bis zu den Motoren wird es jedenfalls noch ein Weilchen dauern, viel Freizeit habe ich in den nächsten Wochen kaum.
Außerdem wäre das wohl eher ein Fall für einen anderen Bereich des Forums.

[Klebwax]

Was allerdings benötigt wird ist die maximale Kraft, die entlang eines Seils wirkt, um damit die Dimension des Getriebes und des Motors festzulegen. Entweder benötigt man also Optimierungsverfahren (eleganter Ansatz) um das Maximum der Kräfte über alle möglichen Positionen zu finden oder man berechnet durch Brute Forcen alle möglichen Positionen und wählt zum Schluss das Maximum aus.

Wenn ich mich dunkel an den Physikunterricht erinnere, wird die Kraft an einem vollständig gespannten Seil unendlich, allein durch das egal wie kleine Eigengewicht des Seils. Da unendlich nicht geht, hängt die Kraft sicher davon ab, wieweit man das Seil durchängen lässt.

MfG Klebwax

[FirefoxMetzger]

Richtig. In meinem Fall werde ich bis auf maximal 10 cm an die Aufhängung heranfahren. Die Kraft die dort auf das Seil wirkt ist die größte aufregende Kraft im Arbeitsraum und beträgt etwas unter 60 N.

Da ich die Aufhängung aber noch einmal verändern werde (mehr Seile) wird dieser Wert wahrscheinlich noch ein wenig nach oben gehen. Wie viel genau wird sich zeigen, allerdings erwarte ich keine Kraft über 100 N.