Wenn die LED's bei Reset ausgehen bzw. danach an, werden die Pins und internen PullUp-Widerstände offensichtlich richtig initialisiert.
Es deutet dann auf einen logischen Programmierfehler oder eine Verzweigung (IF) durch einen falschen Eingangspegel (Eingangs-PullUp oder PullDown) hin.
Ausgänge sind in der Regel Open-Collektor-Ausgänge; es wird also der GND geschaltet oder Nix. Das Nix mußt Du dann durch eine PullUp-Widerstand ersetzen damit auch High-Pegel kommt, wenn auch nur über einen Widerstand.
Mit Bascom kenne ich mich nicht aus und der AVR ist mir auch noch etwas fremd; PIC und Assembler liegt mir mehr.

PS: Das mit den 12V und 680 Ohm ist vollkommen in Ordnung.
Ich kenne nur nicht das Verhalten der ULN2804, wenn statt der erwarteten 6...15V nur 5V ankommen. Da sie aber offensichtlich die LED's einschalten, reichen die 5V wohl aus. Du solltest diese Sache aber nicht aus dem Auge verlieren, falls 'seltsame Vorkommnisse' auftreten.